The majority of existing WECs (wave energy converters) are designed to achieve maximum power at a resonance condition. In the case of a single WEC, its size must be large enough for tuning, and it has high efficiency only within a limited frequency band. Recently, wave power extraction by deploying many small buoys in a compact array has been studied under the assumption that the buoy's size and separation distance are much smaller than the water depth, wave length, and size of the array. A boundary value problem involving the macro-scale boundary condition on the mean surface covered by an infinite strip of buoys is solved using the eigenfunction expansion method. The energy extraction efficiency
다양한 형태의 단면을 갖는 실린더에 대한 회절과 방사 문제는 선형포텐셜이론을 이용하여 Black et al.(1971), Garrett(1971), Yeung(1981) 등에 의해 다루어졌다. 특히 원형 실린더에 의한 파력에너지 추출은 Budal and Falnes(1975)에 의해 연구되었다. 다수의 부이들이 정해진 유체영역내에 배열된 경우, 부이간의 상호작용이 약하다는 가정 아래에서 추출된 파력에너지를 계산하기 위한 근사 이론들이 개발되었다(Falnes, 1980; Falnes and Budal, 1982; Falnes, 1984; Falcão, 2002). 위에 소개한 대부분 연구들은 파력에너지의 추출 효율을 극대화하기 위하여 공진 개념을 이용한다. 보통 입사파 스펙트럼에서 에너지가 밀집된 피크 주파수(Peak frequency)에서 공진이 일어나도록 파력발전 장치를 설계한다. 따라서 설치해역의 입사파와의 공진을 만족하기 위하여 부이의 크기는 커진다. 반면에 입사파 스펙트럼의 피크 주파수보다 높은 고주파수영역에서 공진이 일어나는 소형부이를 사용하는 경우 원하는 파력에너지를 얻기 위해서는 단일 부이가 아닌 다수의 부이들을 촘촘히 설치 영역내에 배열하여야 한다. 다수의 소형 부이들을 배열하는 경우, 다척도 (Multi-scale) 근사기법을 사용하여 Garnaud and Mei(2009a)와 Garnaud and Mei(2009b)는 입사파와 원형과 스트립 배열된 다수 부이간의 상호작용문제를 다루었다. 한편 다수의 부유체가 놓여 있을 때 부유체간의 상호간섭 효과를 고려한 회절과 방사 문제는 Linton and Evans(1990), Linton and McIver(1996), Chamberlain(2007)등에 의해 연구되었는데 다수 부유체의 상호작용을 고려한 파력에너지 추출 연구는 Child and Venugopal (2010)에 의해 다루어 졌다. Cho(2014)는 다수 소형 부이들이 원형으로 배열되었을 때 부이가 채워진 수면 전체 면적과 부이의 면적의 비인 Packing ratio와 PTO(Power take-off) 감쇠력, 그리고 배열 반경을 바꿔가면서 원형으로 배열된 다수 부이들에 의한 파력에너지를 구하고, 다수의 소형 부이들을 원형 배열하였을 때 추출된 파랑에너지가 같은 침수 체적을 갖는 단일대형 부이보다 더 큼을 밝혔다.
Zhao et al.(2010)는 일정한 크기의 구멍이 일정한 간격으로 배열된 유공판(Perforated plate)이 수면 위에 놓여 있을 때 효과적으로 파랑에너지를 흡수할 수 있음을 해석이론과 모형실험을 통하여 밝혔다. 그들은 거시적인 관점에서 유공판이 놓인 수면에서의 경계조건식을 유도하였는데 거시적인 관점에서 유공판을 바라보았을 때 구멍의 크기나 배열 간격과 같은 국부 형상은 중요치 않고 전체 면적에서 뚫린 부분의 면적의 비인 공극율(Porosity)이 파가 유공판을 통과하면서 발생하는 에너지 손실을 결정하는데 중요한 변수임을 밝혔다. 유공판을 통과하면서 발생하는 와류나 박리에 의한 에너지 손실로 인하여 유공판이 놓인 유체영역에서의 고유값은 복소수이며, 여기서 허수부가 에너지 손실의 양을 결정한다. Cho(2013)은 수면 위에 놓인 유공판을 입사파를 차단하는 방파제로 활용이 가능함을 보이는 기초연구를 수행하였다. 이때 유공판이 놓인 유체영역에서 고유값을 구하기 위한 수치해석 방법으로 Steffensen의 축차법(Iteration method)을 사용하였다.
본 연구에서는 단일 부이로부터 추출되는 파력에너지를 먼저 살펴보고, 다수의 소형 부이들이 일정한 간격으로 스트립 배열되었을 때 다수 부이를 통하여 추출되는 에너지의 효율을 구하였다. 소형 부이들로 채워진 수면에서 만족하는 새로운 경계조건식 (Garnaud and Mei, 2009a; Garnaud and Mei, 2009b)을 포함한 경계치문제를 구성하고 이를 고유함수전개법(Eigenfunction expansion method)으로 해석하였다. 다수 부이가 촘촘히 채워진 수면에서의 경계조건식은 부이의 바닥면에서의 운동학적 경계조건과 동역학적 경계조건을 결합한 근사식으로 수심, 파장, 배열폭이 부이의 반경, 흘수, 간격에 비하여 아주 길다는 가정에 기반을 두고 있다(Cho, 2014; Garnaud and Mei, 2009a; Garnaud and Mei, 2009b). 다수 부이가 배열된 유체영역은 배열 폭에 비하여 길이가 무한히 긴 스트립 형태이며, 입사파는
선형포텐셜이론 아래에서 부이와 선형발전기(Linear generator)가 서로 연성된 운동방정식을 유도하고 이를 풀어 부이의 수직운동 변위와 부이를 통하여 추출되는 파력에너지를 구하였다. 운동 방정식내의 부가질량(Added mass)과 방사감쇠계수(Radiation damping coefficient) 그리고 파기진력(Wave exciting force)을 구하기 위한 해석방법으로 고유함수전개법을 사용하였다(Cho and Kweon, 2011). 해석모델은 Fig. 1에 나타난 바와 같이 반경
여기서
질량
여기서
식 (2)로부터 주파수영역에서의 수직운동 RAO(Response amplitude operator)는 아래식과 같다.
여기서 부이의 형상과 주파수의 함수인
부이의 비감쇠 고유주파수(Undamped natural frequency)는 아래와 같다.
식 (4)는 주파수별로 미리 구해놓은 부가질량
부이의 운동에너지로부터 전기에너지를 추출하기 위해서는 2차 변환장치로 선형발전기를 사용하는데 이때 부이와 함께 움직이는 영구자석의 운동방향과 반대방향으로 작용하는 PTO 감쇠력이 존재한다. 본 연구에서는 편의상 PTO 감쇠력이 영구자석의 운동속도에 선형적으로 비례한다고 가정하였다.
여기서 비례상수
부이에 선형발전기를 연결하였을 때 식 (3)에 PTO 감쇠력이 포함된다. PTO 감쇠계수와 방사감쇠계수의 비를
부이의 수직운동으로부터 추출되는 시간평균 파력에너지는 아래와 같다.
특히, 공진 조건(ω=ω
여기서
시간평균 파력에너지의 최대값 와 단위 폭을 갖는 입사파의 시간평균 파랑에너지의 비는 다음과 같으며, 이를최대 취득폭(Capture width)이라 부른다.
여기서 는 군속도(Group velocity)이다.
한편, 시간평균 파력에너지 와 단위 폭을 갖는 입사파의 시간평균 파랑에너지의 비를 취득폭이라 하며 기호로
여기서 효율 𝜂
부이(반지름
Fig. 2에 주어진 해석모델에 대한 경계치문제를 구성하기 위하여 선형포텐셜이론을 가정하여 속도포텐셜을 도입한다. 파동장이 주파수 ω을 갖고 조화운동을 하면 속도포텐셜을 시간과 공간의 함수로 분리하여 로 쓸 수 있다. 다수의 부이들이 배열된 유체영역의 폭(2
다수의 부이들이 일정한 간격으로 배열되어 있을 때 부이간의 상호 간섭효과를 정확히 고려하기 위해서는 복잡한 계산과정과 많은 계산시간이 필요하다. 본 연구에서는 다수 부이들 각각에 의하여 추출되는 파력에너지를 엄밀하게 구하는 해석법이 아닌 근사해법을 사용하였다. 이를 위하여 거시적 규모 (Macro-scale)의 길이 척도를 갖는 입사파의 파장(λ), 수심(
이와 같이 해석모델 내에 크기가 전혀 다른 2개의 길이 차원이 공존할 때 다척도 기법을 적용하여 근사해를 구한다. 거시적관점에서 새로 유도한 수면에서의 경계조건식을 포함한 경계치 문제를 풀어 스트립 배열된 부이로부터 추출되는 전체 파력에너지를 구한다.
다수의 부이들이 일정한 간격으로 분포된 수면에서 만족하는 경계조건식은 다음과 같다(Garnaud and Mei, 2009a).
여기서 c
Helmholtz 방정식과 경계조건식들로 구성된 경계치문제를 고유함수전개법을 사용하여 풀기 위하여 유체영역을 Fig. 2b와 같이 영역 (I)과 영역 (II)로 나눈다. 영역 (I)은 |
여기서
영역 (I)에서의 고유함수
여기서 𝛿
Helmholtz 방정식과 경계조건식(14) 그리고 해저면 경계조건식을 만족하는 영역 (II)에서의 속도포텐셜을 변수분리법을 사용하여 구하면 다음과 같다.
여기서 이다.
영역 (II)의
여기서 이며, 식 (19a)와 (19c)를 만족하는 고유함수는
식 (20)에 주어진 비선형 방정식의 복소해를 얻기 위하여 Steffensen의 축차법을 사용하였다(Mathews and Fink, 2004). 이수치해법은 3개의 초기값 (
고유함수의 직교성을 만족하도록 정규화된(Normalized) 고유함수를 구하면 다음과 같다.
여기서 이다.
영역 (I)과 영역 (II)의 미지수 , (
여기서 이다.
위의 대수방정식을 풀어 미지수 (,
배열된 다수 부이들에 의한 반사율과 투과율 그리고 다수의 부이들로부터 추출되는 에너지 효율은 다음과 같다.
Fig. 3은 선형발전기를 부이에 연결하지 않았을 때(식 3)와 선형발전기를 연결한 경우(식 6)에 대한 수직운동 RAO를 그렸다. 부이의 반경과 흘수는 같다고 가정하였고 선형발전기의 PTO 감쇠계수(
Fig. 4는 Fig. 3과 같은 계산조건하에서 추출된 파력에너지와 단위 폭을 갖는 입사파의 시간평균 파랑에너지의 비인 길이 차원을 갖는 취득폭(
지금까지 단일 부이를 통한 파력에너지 추출에 대하여 살펴보았다. 본 연구의 핵심인 다수 부이 배열을 통한 파력에너지 추출문제로 넘어가기에 앞서 Steffensen의 축차법을 사용하여 식 (20)에 주어진 비선형 방정식을 풀어 다수 부이가 놓인 영역내의 고유값
[Table 1.] First ten eigenvalues for cPRO*=1.0 and p=0.2
First ten eigenvalues for cPRO*=1.0 and p=0.2
Fig. 6은
Fig. 7은
Fig. 8은 배열 폭을
지금까지 계산결과는 입사파가
유체영역내에 다수의 부이를 일정한 간격으로 스트립 배열하였을 때 다수 부이를 통한 에너지 추출 효율을 입사파의 파장, 입사각도, PTO 감쇠계수, packing ratio, 배열 폭을 변화시키면서 살펴보았다.
(1) 다수 부이가 스트립 영역내에 일정한 간격을 가지고 배열되었을 때 다수 부이가 놓인 영역에서의
(2) 단일 부이를 통하여 추출 할 수 있는 파력에너지의 최대값은 잘 알려진 최적 조건(
(3) 고정된 packing ratio에 대하여 배열 폭을 증가시키면 투과율은 줄어들고 에너지 추출 효율은 증가한다. 또한 배열 폭을 고정시키고 packing ratio을 증가시키면 투과율은 감소하고 반사율과 에너지 추출 효율은 증가하는 경향을 보여주었다. 두 경우 모두 에너지의 추출 효율은 증가하나 많은 양의 부이가 제작되어 설치되어야 하므로 경제성을 검토하여 적절한 배열 간격과 부이의 개수를 선택하여야 한다. 한편 에너지 추출 효율은 입사각도에 따라 큰 변화가 나타나지 않았다.
(4) 본 해석방법은 입사파의 파장, 수심, 배열 폭이 부이의 크기와 배열 간격에 비하여 아주 커서 부이간의 상호간섭 효과가 약하다는 가정을 전제로 거시적인 관점에서 살펴본 근사해이다. 따라서 배열된 각 부이간의 상호간섭 효과를 정확히 고려하여 파력에너지를 정확히 산정하기에는 어려움이 있지만 실해역에 적용하기에 앞서 배열된 부이들을 통하여 추출 가능한 전체 파력에너지의 근사값을 추정하거나 다수 부이의 배치안의 기초자료로 활용하는데 도움을 줄 것이다.