일상생활에서 조명에 사용되는 LED (Light emitting diode) 소자는 광학 소자의 성능 향상과 함께 LED소자는 정보기기 분야뿐만 아니라 일반 조명 분야에도 그 활용이 확대되고 있으며, 특히 LED의 에너지 절감 효과와 친환경적인 특징으로 인해 기존 조명 대체에 대한 기대가 매우 높다[1].

그러나 LED 소자의 광분포는 지향성을 갖고 있기 때문에 LED소자를 이용한 조명 제품들이 원하는 조명 성능을 얻기 위해서는 광학 소자 사용이 필요하다. 일반적으로 광학 소자는 반사경, 렌즈, 혹은 이들의 조합 형태로 구현되어 왔으며, 최근 LED 조명 제품의 저가격화 추세에 따라 광학 소자의 단순화 및 고성능화에 대한 요구 수준이 점차 높아지고 있다. 따라서 광학 소자의 단순화는 복잡한 광학 소자 사용으로 인한 광효율 저하와 정렬문제를 극복하는데 매우 중요한 요소이기도 하다[2].

이런 문제점을 극복하고자 단일 광학 소자인 자유 형상 렌즈 (freeform lens)를 2차 광학 소자로 활용하는 방안이 제안되었으며[3], 관련 설계법 연구도 활발히 진행되어 왔다[4,5].

기본적으로 자유 형상 렌즈 설계에서는 광원의 방출 특성과 조명면에서의 조명 조건을 고려하여, 렌즈 입사면 또는 출사면 상의 각 점의 표면 기울기 (혹은 법선 벡터)를 굴절 혹은 반사 법칙에 따라 직접 결정한 후, 해당 표면 기울기를 갖는 면 요소를 연결하여 렌즈의 최종형상을 결정하게 된다. 따라서 자유 형상 렌즈는 구면 혹은 비구면으로 정의되는 기존 렌즈와는 다른 형상을 갖는다. 대부분의 경우, 광학 소자는 조명면에 균일 조도 (illuminance) 분포를 이루기 위해 사용되므로, 균일조도 분포를 이루기 위한 설계 조건은 수렴 조명 모델(convergent illumination model)이나 발산 조명 모델(divergent illumination model)에 의해 규정된다[6]. 그러나, 자유 형상 렌즈는 광원 특성에 맞춰 형상이 최적화되므로, LED 광원의 방출 특성이나 배치 등이 설계조건으로부터 벗어날 경우에는 일반 렌즈에 비해 성능저하가 더욱 클 수 있다.

본 연구는 중첩 조명 모델을 제안하고, 이를 바탕으로 세 종류 자유형상 렌즈를 제작하고, 그 렌즈의 성능과 특성을 분석하였으며, 반치각 변화에 따른 평균 조도와 균일 조도변화를 수치 해석적으로 계산하였다.

본 연구에서 채택한 자유 형상 렌즈 외관은 평탄한 입사면과 비구면 형태의 곡선 모양을 갖는 출사면으로 구성되도록 제작한 광학 소자이며, 출사면이 자유 형상면(freeform surface) 형태를 갖고 있으며, 이는 미리 계산에 의해 계획된 형태이며, 그림 1에 개략적인 형상을 나타내었다.

그림 1에 보인 것처럼 입사면은 평면이며 LED광원이 입사면 상의 한 점 P₁에 위치한다면, 수직축 (z 축)에 대해 각도 θ 방향으로 LED로부터 방출된 빛은 렌즈 내부를 진행한 후 출사면의 점 P₂(x, z)에 도달한다. 이때 출사면에 도달한 광선은 굴절에 의해 에 위치한 조명면의 한 점 P₃(xd, H)에 최종적으로 도달하게 된다.

그림 1과 같은 경우에 있어서 자유 형상 렌즈 설계절차는 여러 방향의 방출 광선에 대해 점 P₂(x, z)의 좌표를 찾는 과정을 거친 후, 방출된 광선들이 굴절 후 조명면 상에 도달시킬 임의 지점을 결정하면, 자유 형상면을 구성할 수 있게 된다. 아울러 방출 광선과 도달점의 관계로부터 점 P₂에 대한 입사 및 굴절이 정의되며, 이들 입사와 굴절된 광선은 굴절 법칙 (Snell’s law)을 만족해야 하므로, 출사면 위의 점 P₂를 포함하는 면 요소 (surface element)의 곡면 기울기 (dz/dx)를 결정할 수 있다.

이때, LED광원이 놓인 위치(P₁)을 좌표계 원점이라 하고, 조명 영역이 회전 대칭성을 갖는 반경 R인 원형이라면, 위의 설계 개념에 따른 자유 형상 렌즈의 설계 이론은 다음과 같다[6-9].

식(1)은 출사면 위의 점 P₂를 포함하는 면 요소의 곡면 기울기를 직교 좌표 형식으로 표현한 미분 방정식이며, H=z축 좌표, n은 렌즈 굴절률을 각각 의미한다. 만일 방출 광선과 도달점의 관계가 주어진다면, Runge-Kutta 알고리즘과 같은 수치해석적 방법을 활용하여 식 (1)의 곡면 기울기로부터 출사면 형상을 결정할 수 있다[10]. 그러므로, 에서의 출사면 높이 를 초기값으로 하여, 순차적으로 (x₀+i·Dx, i=1,2,3, …, N)에서의 출사면 높이를 구함으로써 출사면에 해당하는 자유 형상 면을 결정할 수 있다. 그러나, 식(1)을 이용하여 출사면을 결정하는 경우, 출사면 형태에 따라 출사면 위의 인접한 두 점 간격이 점차 넓어지거나 좁아지는 경우가 있으므로, 수치해석적 오차를 줄이기 위해 식(2)와 같이 면 요소의 곡면 기울기를 극 좌표 형식으로 표현하는 것이 유용할 수 있다.

여기서 r은 광원으로부터 출사면 위의 점 P₂까지의 거리, θ는 방출 광선의 진행 각도, x_d는 조명영역 반지름을 각각 의미한다.

식(1) 또는 식(2)를 풀기 위해서는 방출 광선과 도달점의 관계가 필요하므로, 균일 조도 분포를 얻기 위해서 조명 모델(illumination model)로부터 적절한 관계식을 유도할 수 있다. 이 조건들이 균일한 조도를 얻기 위한 조건이며, 아울러 조명면에 도달한 광속 (luminous flux)뿐만 아니라 분포 또한 일정해야 함을 의미한다. 본 연구에서 조명면에 균일한 조도 분포를 얻기 위한 조명 모델의 개략도를 그림 2에 나타냈다.

그림 2(a)의 수렴 조명 모델에서는 자유 형상 렌즈의 테두리 쪽으로 방출된 광선은 자유 형상 렌즈를 지나 조명면 중앙에 도달하게 하고, 렌즈 중심 방향으로 방출된 광선은 조명면 테두리에 도달하게 한다. 반면, 그림 2(b)의 발산 조명 모델에서는 자유 형상 렌즈의 중앙으로 방출된 광선은 조명면 중앙에, 렌즈 테두리 쪽으로 방출된 광선은 조명면 테두리에 도달하게 한다.

한 예로서, 광선의 진행 과정에서 광 손실이 일어나지 않는다고 가정하고, 발산 조명 모델을 기준으로 균일 조도 조건의 유도 과정을 살펴보자. 만일 0~θ 범위의 방출각을 갖는 방출 광선들 경우, 조명면의 반경 x_d인 원 영역 내에 모두 도달한다면, 평균 조도 E는 0~θ의 방출각 내로 방출된 LED의 방출 광속 Փ(θ) 와 면적 의 비율로 정의될 수 있다. 또한, LED의 최대 방출각이 θ_max의 경우 LED로부터 방출된 모든 광선은 반경 R인 조명면 전체를 조명하게 되므로, 평균 조도는 LED의 전광 선속(total luminous flux : Φmax)와 조명면의 전체 면적 (πR²)의 비율로 마찬가지로 정의될 수 있다. 따라서 균일 조도 조건이 만족되기 위해서는 두 가지 평균 조도 정의가 같아야 하므로 아래 관계식이 성립된다.

LED 광원의 광도 (luminous intensity) 분포를 라 한다면, 광도와 광속의 관계로부터 식(3)은 다음과 같이주어진다.

만일 LED 광원을 일반화된 Lambertian 광원으로 취급될 수 있다면, 광도 분포는 아래와 같이 주어질 수 있다[11].

여기서 I₀는 중심 방향(θ=0o)의 광도이며, θ_1/2는 LED 광원의 반치각 (half angle)이다. 식(5)를 식(4)에 대입하여 조명 렌즈 모델에 대한 균일 조도 조건을 구할 수 있으며, 이 조건이 바로 방출 광선과 도달점의 관계식이 된다.

같은 방법으로 구한 수렴 조명 모델에 대한 방출 광선과 도달점의 관계식은 다음과 같다.

그림 2에 제시된 두 가지 조명 모델은 균일 조도 분포를 목표로 하는 자유 형상 렌즈 설계에서 흔히 사용되고 있다. 하지만, LED 광원의 방출 특성이나 배치가 설계 조건으로부터 벗어나게 되면, 설계된 자유 형상 렌즈는 원래의 조명 성능이나 균일 조도를 유지하지 못하는 문제를 내포하고 있다. 실제 LED 패키징(packaging) 공정에서 보면, 개별 LED 칩 (chip)의 방출 특성이 조금씩 다를 수 있고 LED 칩의 정렬 오차 또한 발생할 수 있으므로, 자유 형상 렌즈의 실용화를 위해서는 LED 광원의 방출 특성이나 정렬 오차에 의한 조명 성능 저하를 최소화하는 것이 매우 중요하다.

그리고 자유 형상 렌즈를 설계함에 있어서 주된 관점은 광원에서 방출된 빛(light beam)을 적절히 변환하여 조명 조건에 정확히 맞추는 것이다. 따라서, 광원 특성이나 배치가 설계 조건으로부터 벗어날 경우 조명 성능이 다소 미흡한 것은 피할 수 없다고 보여진다. 따라서 광원 특성이나 배치가 설계 조건에 맞추면서, 균일 조도 조건을 얻을 수 있는 조명 모델을 사용하여 렌즈를 제작하였다.

본 연구에서는 그림 3에서와 같은 중첩 조명 모델을 제시하여 렌즈를 제작하였다. 그림에서 보여 주듯이 기존 조명 모델과 달리, LED로부터 방출된 광선들을 분할각을 기준으로 두 광선 그룹으로 분할한 후, 각각의 광선 그룹에 대해 독립적으로 발산 조명 모델을 적용한다.

그림 3에 보인 바와 같이 렌즈 중앙에 위치한 LED로부터 방출된 광선들은 자유형상 렌즈표면을 통과한 후 방출각 θ가 큰 광선(θ_max)은 조명면 테두리로 진행시키고, 방출각이 작은 광선(θ_S)들은 조명면 중앙으로 진행하도록 하였다.

그 결과 각 광선 그룹에 속한 광선들이 독립적으로 전체 조명 영역을 조명하게 되므로, 조명면의 조도 분포는 두 가지 광선 그룹에 의한 조도 분포의 중첩으로 주어지며, 조명면의 조도는 두 광선 그룹에 의한 조도의 합으로 얻어질 것이 예측된다. 광원의 방출 특성이나 배치가 설계 조건으로부터 벗어날 경우, 기존 조명 모델에서는 그 변화가 곧 바로 광선의 도달점 위치와 조명면의 조도 값에 영향을 주게 된다. 예를 들어 광원 위치가 좌표계 원점으로부터 +x 축 방향으로 벗어나면, 광선의 도달점은 그 반대 방향으로 모두 이동하게 된다.

즉, 광원의 방출 특성이나 배치 상태 변화는 도달 광선에 대해 일률적으로 같은 영향을 미치게 된다. 하지만, 제안된 조명 모델에서는 방출 광선을 두 가지 광선그룹으로 분할하여 각각에 대해 독립적인 조명 모델을 적용함으로써, 광원의 방출 특성이나 배치 상태 변화가 각 광선 그룹에 대해 다르게 영향을 미칠 수 있을 것이다. 조명면의 최종 조도 분포가 각 광선 그룹에 의한 조도 분포의 중첩에 의해 주어지므로, 제안된 조명 모델에서는 광원의 방출 특성이나 배치 상태 변화의 영향이 부분적으로 상쇄될 수 있을 것이다.

제안한 중첩 조명 모델에 대한 균일 조도 조건은 두 가지 광선 그룹에 대해 각각 정의되는데, 방출각 범위가 0 ~ θ_S인 첫 번째 광선 그룹에 대한 균일 조도조건은 식(8), 방출각 범위가 θ_S ~ θ_max인 두 번째 광선 그룹에 대한 균일 조도 조건은 식(9)에 의해 각각 주어진다.

균일 조도를 얻기 위해 기존의 조명모델을 기반으로 세 가지 자유 형상렌즈를 설계하였다. 그러나 기존 조명모델인 수렴 조명모델은 조명조건에 따라 자유형상면을 정의할 수 없는 경우가 있어서, 발산모델과 중첩 모델로 렌즈를 제작하였다.

렌즈1과 렌즈2는 발산 모델을 적용하여 제작했으며, 높이는 각각 7.00mm, 14.00mm이며, 반경은 각각 9.54mm 20.61mm이다. 또한, 중첩모델을 적용한 렌즈3의 높이와 반경은 각각 7.00mm와 대략 9.08mm이다.

그리고, 자유 형상 렌즈 설계를 위해 LED 광원은 좌표계 원점에 두고, 점광원으로 간주하였다. 또한, LED 광원의 반치각(θ_1/2)은 30o로 설정하였으며, 최대 방출각 θ_max를 60o로 제한하였다. 이는 방출각이 너무 크면 자유 형상 면 형성함에 발생가능한 문제점을 고려해, LED 광원의 최대 방출각보다 작게 설정하였다. 조명면의 높이(H)는 좌표계 원점을 기준으로 40mm이며, 조명면 영역은 반경(R)이 60mm인 원으로 하였다.

이 같은 조건으로 세 종류 렌즈을 제작한 후, 렌즈의 형상면을 z축에 대해 회전하여 3차원 자유 형상렌즈를 설계 및 제작했으며, 제작한 렌즈의 개략적인 형상을 그림 4에 도시하였다.

그림은 중첩 조명모델을 적용한 렌즈이며, 출사면의 중심 높이(z)는 7mm이며, 반경은 대략9.08mm이며, 가장 자리까지 높이는 9.92mm이다. 일반적으로 (z)를 크게 설정할수록 렌즈 반경은 비례해서 크게 제작하였음을 밝혀둔다.

제작한 자유 형상 렌즈의 조명성능을 분석하기 위해 상용 프로그램인 LightTools^TM를 활용하여 조명면의 조도 분포를 계산하였으며, 이때 검출기(receiver) 크기는 조명면 크기에 비해 약 2배 이상이 되는 160x160 mm²로 설정하였고 검출기 영역은 50x50개의 pixel로 분할하였다. 광선 수는 100,000개이었으며 LED 광원의 전광 선속은 679.55 lm으로 설정하였다. 계산된 조도 분포로부터 조명성능을 정량화하기 위한 평균 조도(illuminance average : E_avg) 및 두 가지 조도 균일도 (U₁, U₂)를 정의했으며, 각각 다음과 같다[12,13].

여기서, M은 검출기 전체 영역 중에서 조명 영역에 속하는 pixel들의 총 개수, E_i는 이들 pixel에서의 조도이다. E_min와 E_max는 조명 영역에 속하는 pixel들의 조도중에서 최소치와 최대치를 의미하며, 식(11)와 식(12)는 조명 영역 내의 특정한 위치에서 조도 분포의 국부적인 값과 조도 분포의 표준편차로 정의된 값을 각각 나타낸다[14-16].

아울러 3가지 자유 형상 렌즈에 의해 조명면에 형성 된 조도 분포를 그림 5에 나타냈다.

그림에서 볼 수 있듯이, 방출 광선들은 대부분 조명영역 내에 도달하며, 조도 분포도 매우 균일함을 알 수 있다. 식(10)~(12)의 정의에 따라 각 렌즈의 평균 조도와 두 가지 조도 균일도를 구하여 표 1에 정리하였다.

표 1에서 보여주듯이 평균 조도는 대략 56,000 lx 정도로 측정되었으며, 조도 균일도(U₁)와 조도균일도(U₂)는 대략 44~49%와 87~89%정도로 측정되었다. 자유 형상 렌즈 종류에 따라 평균 조도나 조도 균일도 차이는 크지 않지만, 큰 렌즈 반경을 갖는 Lens2의 경우 상대적으로 평균 조도와 조도 균일도가 낮음을 알 수 있다.

표에서 조도 균일도(U₁)이 조도 분포 그림으로부터 예상한 것보다 낮은 값을 갖는 이유는 조명 영역 경계에서 조도 값(E_min 및 E_max)의 감소때문인 것으로 사료된다.

LED 패키지 공정 과정에서 개별 LED 칩의 방출 특성과 LED의 배치 조건이 달라질 수 있으므로, 조명 모델에 따른 조명 성능의 공차 분석을 LED 광원의 방출 특성 중에서 광도 분포의 중심 방향 및 반치각 변화와 LED 광원의 크기 및 배치 위치 변화에 따른 조명 성능 변화를 측정하였다. 먼저, LED 칩의 방출 특성이 렌즈설계 조건을 벗어날 수 있으므로 LE광원의반치각(θ_1/2)이 20.0o~ 40.0o 범위에서 2.5o간격으로 변화시키면서 LED 광원에 의한 조도 분포 변화를 측정하였다. 그 결과를 그림 6나타냈으며, 그림은 반치각에 대한조도분포를 측정한 데이터 중 일부를 5o 간격으로 제시한 것이다.

그림에서 보듯이, 3가지 렌즈 모두 광원 특성인 반치 각30o를 기준으로 반치각(θ_1/2) 20.0o~30.0o인 영역에서는 조도가 중심부는 밝지만 주변부는 상대적으로 어두운 특성을 보이며, 반치각(θ_1/2)이 30.0o~40.0o인 영역에서는 조도가 주변부가 중심부보다 상대적으로 밝은 특성을 확인하였다. Lens3가 다른 렌즈들과 비교해 전반적으로 반치각(θ_1/2)변화에 대해 조도 분포가 넓고 높은 균일 조도 분포를 보였다. 반치각(θ_1/2)변화에 의한 평균조도와 두 개 균일도를 그림 7에 나타냈다.

그림은 조도 분포의 정량적인 수치 결과로서 그림(a)는 평균 조도 그래프로써 렌즈3가 렌즈1,2에 비해 반치 각(θ_1/2)이 20.0°에서 낮은 평균 조도 값을 가지나 렌즈 1,2보다 렌즈3가 낮은 감소율로 인해 반치각(θ_1/2)이 증가되면서 평균 조도 값이 역전되는 반응을 보였다. 그림(b)는 균일도(U₁)을 나타낸 것이며, U₁ 그래프에서 렌즈1과 렌즈2가 반치각(θ_1/2) 변화에 균일도 값이 크게 증가하다가 반치각(θ_1/2)이 30°이후 균일도 증가폭이 적은 상태로 증가했다. 그 후 렌즈1은 반치각(θ_1/2)이 35°에서 균일도가 감소하며, 렌즈2는 반치각(θ_1/2)이 37.5°에서 균일도가 감소하는 것을 확인하였다. 렌즈3은 렌즈1, 렌즈2에 비해 반치각(θ_1/2)이 20.0°에서 높은 균일도 값을 가지면서 반치각(θ_1/2) 변화에 따라 균일도가 증가된다. 반치각(θ_1/2)이 30.0°이후 균일도 증가된 폭이 작아진 상태로 증가하며, 반치각(θ_1/2)이 37.5°이후 렌즈 1, 2는 감소한 반면, 렌즈3는 계속 증가하는 것을 확인하였다. 그림 (c)는 균일도(U₂)를 나타낸 것이며, 균일도(U₁)에서는 렌즈1과 렌즈2 및 렌즈3의 2가지 부류로 구분되어 진다.

그림에서 렌즈 3이 렌즈1, 2보다 전체적으로 높은 균일도와 적은 증감 폭을 보였다.

또한, LED 광원이 설계상 정해진 중심 방출 방향에서 각도상 벗어난 경우를 고려하여 LED 광원이 y축을 회전축으로 하여 0.1°회전하고, 나중에 회전각(β)이 0.5°이고, 회전각(β)이 0.5°~2.0°까지는 0.5° 간격씩 회전된 상태로 적용하여 광원의 방출 광속 진행 방향 변화의 공차 분석 수치 결과를 그림 8에 나타냈다.

그림에서 알 수 있듯이 조도 분포에서는, 3개 렌즈 모델은 광원의 회전 값이 커질수록 좌우로 대조적인 밝기 차이를 보였으며, 렌즈3는 회전각(β)이 1.0°에서 조도가 갑자기 변화하는 것을 확인하였다. 그림 8(a)인 평균조도 그래프는 렌즈2에 비해 렌즈1, 3이 전반적으로 높은 평균 조도 값을 유지하였지만, Lens3의 회전각(β)이 1.0°경우 평균값이 갑자기 떨어지는 특이한 경우가 있었다. 그림 8(b)와 그림 8(c)인 균일도 (U₁, U₂) 그래프도 평균 조도 그래프와 동일한 결과를 얻었다.

아울러, 조명 모듈에서 LED 광원이 정해진 위치에서 벗어나서 배치된 경우를 고려하여 x방향으로 중심 위치의 0.05mm 떨어진 위치에서 0.2mm위치까지 0.05mm씩 적용하면서 광원의 x방향 위치변화에 대한 공차분석의 수치 결과를 그림 9에 제시하였다.

그림에 나타냈듯이 조도 분포에서는, 광원의 x방향 이동이 증가될수록 상하로 밝기 차가 증가하는 조도 분포임을 확인하였다. 그림 9(a)의 평균 조도 그래프를 보면 렌즈1,2가 렌즈3보다 감소 폭이 적게 나타났으며, 그림 9(b), 9(c)의 균일도 (U₁, U₂)그래프에서도 마찬가지로 렌즈1 및 2에서 렌즈3보다 적은 값으로 감소하는 것을 확인하였다. 그리고, LED광원의 방출 면적 변화에 대한 공차를 고려하여, 광원의 반지름 크기 R_s를 처음에는 0.1mm간격으로 변화시키면서 측정하였으며, 그 후 0.5mm~2.0mm범위에선 0.5mm간격 으로 반지름 R_s의 크기 변화를 적용하였고, 광원 크기 변화에 대한 공차 분석의 결과는 그림 10에 나타냈다.

조도 분포에서는, 렌즈 세 가지 모두가 R이 0.5mm인 이상에서는 균일 조도 분포를 유지하지 못하였으나 렌즈2가 다른 렌즈들에 비해 R이 1.0mm까지 균일 조도 분포가 유지되는 것을 확인하였다. 그러나 R이 0.5mm 이상에서 렌즈 세 가지를 자세히 살펴보면 중앙의 밝은 원 영역에서는 균일도가 어느 정도 유지됨을 확인하였다.

그림 10(a)인 평균 조도 그래프에서는 감소폭이 완만히 감소하다 급격히 감소하는 시점의 반지름 값이 렌즈 1보다 렌즈2가 크게 나타났으며, 렌즈3보다 렌즈1이 그 시점의 반지름 값이 크게 나타났다. 그림 10(b)인 균일도(U₁)의 그래프에서는 렌즈2가 R이 1.5mm인 곳에서 최대 균일도 값을 이루면서 증감하며, 다른 렌즈들 보다 높은 값의 균일도를 유지했다. 렌즈1는 R 이0.5mm인 곳에서 증가하다 감소하는 경향을 보였으며, 렌즈3는 렌즈1보다 낮은 반지름 값에서 증감하는 것을 확인하였다. 그림 10(c)인 균일도 (U₂) 그래프도 위의 균일도(U₁)의 그래프와 동일한 경향성을 확인하였다.

이 공차 분석을 종합적으로 살펴 보면, 광원의 위치 변화, 광원의 크기 변화에서 기존(발산) 조명 모델인 렌즈1 및 2가 중첩 조명 모델인 렌즈3보다 좋은 성능을 가졌고, 특히 렌즈 크기가 큰 Lens2가 Lens1보다 유리한 조건을 보였다. 즉 크기가 큰 기존(발산) 조명 모델인 렌즈2가 렌즈와 광원의 위치 변화와 크기 변화에 관련된 렌즈 두께 변화, 광원의 위치 변화, 광원의 크기변화 설정 항목에 좋은 성능을 보였고, 반면 광원의 방출 광속 진행 방향 변화, 광원 특성(반치각 θ_1/2) 변화에서는 전반적으로 볼 때 중첩 조명 모델인 Lens3가 기존(발산) 조명 모델인 렌즈1, 2보다 좋은 성능을 보였으며, 특히, 렌즈3는 광원 특성(반치각 θ_1/2) 변화의 균일도(U₂)그래프에서 다른 나머지 렌즈들에 비해 월등한 성능을 보였다. 즉 각도 변화와 관련된 광원의 회전변화, 광원의 특성(반치각 θ_1/2)변화에서 기존의 기존(발산) 조명 모델 렌즈보다 중첩 조명 모델 렌즈가 좋은 성능을 보였다.

본 연구에서 제안한 중첩 조명 모델 렌즈3는 렌즈와 광원의 위치 변화와 크기 변화에 안 좋은 성능을 발휘하는 반면 각도 변화에 좋은 성능을 발휘하는 것임을 알 수 있다.

본 연구에서는, 환경 변화에 따른 조명 렌즈의 성능 저하를 극복하기 위해 중첩 조명 모델의 렌즈를 제안하였으며, 이 렌즈의 성능 비교를 위해 3가지 다른 렌즈들을 도입하였다. 렌즈의 설계 환경 변화에 대한 공차분석을 하기 위하여 광원 위치별(x) 변화, 광원의 방출 광속 진행 방향 변화, 광원 크기 변화, 광원 반치각(θ_1/2) 변화 그리고 렌즈 두께 변화 등을 제시 하였고, 조명 영역의 평균 조도 값과 균일도를 각 렌즈들의 성능 평가 항목으로 측정 하였다.

광원 위치(x)변화와 광원 크기 변화에서는 기존(발산) 조명 모델의 렌즈1, 2가 중첩 조명 모델의 렌즈3 보다 좋은 성능을 보였지만 광원의 방출 광속 진행 방향 변화, 광원 특성(반치각 θ_1/2) 변화에서는 중첩 조명 모델(렌즈3)의 렌즈가 기존(발산) 조명 모델 렌즈(1,2)보다 좋은 성능을 보였으며, 특히 렌즈3는 광원 특성(반치 각θ_1/2)변화의 균일도 (U₂)그래프에서 다른 나머지 렌즈들에 비해 괄목할 만한 성능을 보였다.

렌즈의 성능 결과를 통해, 제안된 중첩 조명 모델의 렌즈는 광원의 각도 공차에 성능 저하 억제 특성이 좋게 유지되지만, 광원의 공간적 위치 오차와 방출 면적 오차에는 불리한 특성을 보였다. 즉 특성 분석을 통해, 렌즈 설계 환경 변화에 제안된 모델의 렌즈 성능이 유리한지 또는 불리한지를 적절히 판단하여 조명 렌즈 설계시, 발생할 수 있는 성능 저하 요인을 회피하여 설계하는 예방적인 조명 렌즈 설계 방법을 제시하였으며, 이를 통해 향후 다양한 렌즈 설계 환경 변화 요인에 적절히 대응 할 수 있는 렌즈 설계의 연구 사례라 판단된다.

아울러 경사각(tilted angle)을 갖는 LED를 이용해 빛을 진행시킨 후 생성되는 조명면에 대해 중첩 모델을 적용시킨 렌즈에 대해서도 현재 그 성능을 실험중이다.