선박이나 항공기 내부에 탑재된 탱크내의 액체화물의 급격한 운동은 선박이나 항공기의 안정성에 미치는 영향으로 오랜 기간 동안 중요한 연구과제로 자리를 잡아왔다. 특히, 탱크내와 같이 제한된 유체영역내에서는 여러 개의 고유주파수들이 존재하는데 이때 탱크의 운동 주파수가 고유주파수와 일치될 때 공진현상으로 탱크내의 유체운동은 급격히 커지며 이는 탱크 벽에 큰 충격력으로 작용한다. 이를 슬로싱(Sloshing) 현상이라 부른다.
탱크내의 슬로싱 현상을 줄이고 탱크내에 존재하는 고유주파수를 변경시키는 목적으로 여러 종류의 불투과성 또는 투과성 내부재(Baffle)를 사용한다. Fediw et al.(1995)는 격자형 투과성 직립 내부재가 탱크내의 감쇠력을 증가시키는데 효과적임을 밝혔다. Warnitchai and Pinkaew(1998)는 불투과성 내부재와 함께 투과성 내부재로 와이어 망(Wire mesh)과 원형 구멍이 균일하게 배열된 판을 탱크내에 설치하여 에너지 감쇠 효과의 차이를 실험을 통하여 비교하였다. 와이어 망으로 이루어진 투과성 내부재가 탱크 내 슬로싱 현상을 줄이는데 가장 효과적임을 밝혔다. 유체가 투과성 내부재를 통과할 때 갑작스런 형상의 변화로 인해 제트가 형성되고 이로 인한 흐름저항이 발생하여 에너지 손실이 발생한다. 투과성 내부재를 통하여 반사 또는 투과된 파 에너지는 탱크의 벽으로부터 재 반사되어 반복적인 에너지 소멸과정을 거쳐 탱크내의 수면 운동은 줄어들게 된다. 투과성 내부재를 통과하면서 생기는 에너지 손실효과는 투과성 판의 공극율(Porosity)과 설치 위치, 그리고 잠긴 깊이에 밀접한 관련이 있다.
투과성 구조물을 통한 에너지 손실에 대한 대표적인 연구로 Sollitt and Cross(1972)는 일정한 폭을 갖는 투과성 사석 방파제에 의한 반사율과 투과율을 해석하였다. 그들은 층류 유동일 때는 투과성 구조물 전후의 압력차는 속도에 선형적으로 비례하나 난류 유동인 경우, 압력차는 속도의 제곱에 비례한다고 하였다. 특히 투과성 판 전후의 압력차와 투과성 판에서의 속도가 선형관계를 이룰 때 이를 Darcy의 법칙이라 부른다(Wu, et al. 1998; Yu 1995; Chwang and Chan 1998). Darcy의 법칙에서 비례상수는 일반적으로 복소수 값을 가지며 실수부를 차단계수(Blockage coefficient), 허수부를 에너지 손실과 밀접한 관련된 항력계수(Drag coefficient)라 부른다. Cho and Kim(2008)는 직립벽 앞에 놓인 수평형 투과성 판에 의한 반사율을 고유함수전개법(Eigenfunction expansion method)을 사용하여 구하였다. 투과성 판에서의 경계조건식으로 Darcy의 법칙을 적용하였는데 항력계수와 같은 개념으로 공극율의 함수인 공극율 계수(Porous parameter)를 도입하였다. 적절한 공극율 계수를 가진 투과성 판은 파랑하중 뿐만 아니라 반사율도 현저히 감소시킬 수 있음을 밝혔다. 그들의 연구결과는 KRISO(한국해양과학기술원)의 해양공학수조내의 반사파를 줄이는 소파제(Wave absorber)에 적용되어 실험 결과의 신뢰도를 높이고 수조운용의 효율성을 향상시켰다(Cho and Hong, 2004). Cho(2013)는 수평형 투과성 판이 수면위에 놓여 있을 때 반사율과 투과율 그리고 파랑하중을 구하였다. 적절한 공극율 계수를 가질 때 투과율이 크게 줄어드는 것을 확인하였다.
Faltinsen et al.(2011)은 사각형 탱크 중앙에 투과성 내부재를 설치한 해석모델에 대하여 탱크내의 유체 거동을 해석하였다. 그들은 관성력의 영향을 무시하였고 속도 제곱에 비례하는 항력항을 포함시켜 에너지 손실효과를 고려하였다. Crowley and Porter(2012)는 직립 방파제, 조파장치, 탱크내 슬로싱 등과 같이 투과성 판이 포함된 다양한 유체역학 문제를 다루었다. 그들은 투과성 판을 통과하면서 발생하는 에너지 손실 모델을 등가선형과 비선형 문제로 나누어 취급하고 둘 사이의 정량적인 값 차이를 비교하였다.
본 연구에서는 투과성 판 전후의 압력차가 투과성 판에서의 유체 속도의 제곱으로 표현되는 항력항에 비례한다고 가정한 비선형 에너지 손실모델을 사각형 탱크내의 중앙에 설치된 투과성 내부재에 적용하였다. 탱크의 운동 진폭, 주파수와 함께 투과성 내부재의 공극율과 잠긴 깊이를 변화시켜가면서 수평방향 동유체력(부가질량, 감쇠계수)과 탱크내 수면 변위를 살펴보았다. 부가질량과 감쇠계수는 탱크내의 공진주파수에서 특이한 거동을 보여주었다. 즉, 탱크내의 공진주파수에서 부가질량은 음의 값을 갖으며 이때 감쇠계수는 피크값을 갖는다. 투과성 내부재의 공극율에 따라 동유체력과 수면 변위는 크게 달라진다. 투과성 내부재가 공극율 0.1 주변의 값을 가질 때 탱크내의 슬로싱 현상을 줄이는데 가장 효과적임을 밝혔다.
폭 2a, 수심
여기서 𝜔는 탱크의 운동 주파수이며,
투과성 내부재가
여기서
여기서
속도포텐셜과 투과성 내부재에서의 유체속도를 시간과 공간 함수로 분리하면
이다. 이때
여기서
고유함수
여기서 이다.
고유함수는 직교성 을 만족한다. 여기서
탱크가 수평방향으로 주파수 𝜔, 진폭
여기서
식 (10)에 나타난 미지수인 을 구하기 위하여 두 영역이 만나는 정합면에서 정합조건식을 적용하여야 한다. 먼저
두 번째 정합조건식인 식 (6)안에 속도 제곱에 비례하는 비선형 항으로 인해 입력 주파수 𝜔에 대해 여러 개의 주파수 성분(𝜔, 2𝜔, 3𝜔,…)들이 생성된다. 따라서 속도포텐셜을 주파수 𝜔의 배수로 나타내는 Fourier 급수식으로 표현하고 첫 번째항인 𝜔성분만을 취하고 나머지는 작다고 가정하여 무시한다. 이때 첫 번째 항의 Fourier계수는 8/3π이다. 이러한 등가선형화(Equivalent linearization) 과정을 통하여 식 (6)을 다시 쓰면 다음과 같다.
여기서 이다.
식 (10)을 식 (14)에 대입하고 식 (12)을 이용하면 을 하나의 미지수
식 (16)을 식 (10)에 대입하면 각 영역의 속도포텐셜은 다음과 같다.
식 (17)을 두 번째 정합조건식 식 (15)에 대입하면 다음과 같다.
여기서 .
식 (18)의 양변에
여기서 .
투과성 내부재가 없을 때(
식 (20)은 투과성 내부재가 없는 순수한 탱크의 슬로싱 해석결과이다.
투과성 내부재가 탱크의 바닥까지 놓여 있다면(
식 (19)에 주어진 대수방정식을 풀어 미지수
탱크의 수평운동에 의한
동유체력
여기서
탱크내의 수면변위(
고유함수전개법을 사용하여 얻은 해석해의 수렴도를 살펴보기 위하여 고유함수의 개수(
Convergence test of with the number of eigenfunctions (N) for a/h=4.0, d/h=1.0, P=0.25, ξ/h=0.025
Fig. 2a는 차단재가 없는 순수한 탱크(
식 (25)을 이용하여 무차원화된 공진주파수 을 구하면 Fig. 2a에 나타난 3개의 특정 주파수는 1차, 3차, 5차 공진모드에 해당하는 고유주파수(=0.1467, 0.9741, 1.8876)와 일치한다. Fig. 2b는 탱크 내 2지점(
Fig. 3은
탱크의 운동진폭이 증가할수록 동유체력과 같이 탱크내의 수면 변위도 줄어드는 가를 살펴보기 위하여 Fig. 4를 그렸다. Fig. 4는 Fig. 3과 같은 계산조건에 대하여
Fig. 5는 투과성 내부재가 탱크 중앙에 놓여 있을 때 4개의 공진주파수에서 탱크 내 수면 변화를 스냅샷(Snapshot)으로 나타내었다. 순간 포착 시간은 한 주기를 4등분한 𝜔
Fig. 6은 투과성 내부재의 공극율 변화(
Fig. 7은 투과성 내부재의 공극율 변화(
끝으로 투과성 내부재의 잠긴 깊이 변화(
사각형 탱크 중앙에 투과성 차단재가 수직으로 놓여 있을 때 탱크의 운동 특성과 함께 차단재의 공극율과 잠긴 깊이를 바꿔가면서 탱크 벽과 차단재에 작용하는 동유체력(부가질량, 감쇠계수)과 탱크 내 수면 변위를 살펴보았다. 탱크 내에 차단재가 없는 경우 탱크 내에 감쇠 기구가 없기 때문에 감쇠계수는 0이며 부가질량은 탱크 내의 슬로싱 모드 공진주파수에서 부가질량은 양에서 음의 값으로 갑자기 변하는 현상이 일어났다.
탱크 내에 투과성 차단재를 설치한 경우 차단재를 통하여 에너지 손실이 발생하므로 동유체력과 수면 변위는 줄어든다. 앞서 설명한 공진주파수에서 음의 부가질량이 나타나는 현상과 함께 공진주파수에서 감쇠계수는 피크값을 갖는다. 이러한 현상은 운동하는 물체 주변에 공진을 유발하는 제한 유체영역을 가진 문제에서 주로 발생하며, 대표적인 예로는 Moon-pool을 가진 해양구조물, 쌍동선, 안벽에 계류된 선박 등이다.
탱크 내에 설치한 투과성 차단재의 영향을 고려하기 위하여 본 연구에서는 비선형 에너지 손실모델을 사용하였다. 따라서 선형 이론에서는 나타나지 않는 탱크의 운동진폭이 클수록 투과성 차단재를 통하여 소멸되는 에너지 손실량이 크게 나타났다. 그 결과 동유체력과 탱크내의 수면 변위가 낮아졌다.
공극율이 작은 차단재를 사용할 경우에는 사각형 탱크가 마치 차단재로 분리되어 길이가 반으로 준 2개의 탱크내의 유체운동 특성이 일어나므로 공극율이 큰 투과성 차단재를 설치하였을 때 보이지 않았던 2차 공진 모드에서 동유체력과 수면 변위가 크게 일어났다. 전반적으로