선박의 프로펠러는 일반적으로 선미부 선체에 근접한 상태에서 작동하기 때문에 선박 프로펠러의 추진성능은 선체에 의해 교란된 후류의 영향을 주로 받는다. 이러한 이유로 프로펠러에 대한 유체성능 해석은 하중을 정확히 예측하는 것은 물론 연계된 선체의 반류(Wake)와 프로펠러의 반류에 대한 유동 특성을 잘 이해하는 것을 포함한다. 설계된 프로펠러의 추진성능 분석에 필요한 프로펠러 주위 유동 특성을 밝히기 위한 주제에 관련된 실험 및 수치해석을 포함한 이론적 연구들이 현재까지 다수 수행되어 왔다(Paik et al., 2000; Paik et al., 2005; Ahn et al., 2008; Joung et al., 2014). 다른 한편으로는, Jang et al.(2010)의 예와 같이 추진효율이 높은 프로펠러 날개 형상 개발에 필요한 설계기법을 고도화 하거나 설계작업의 용이성을 높이기 위한 연구들도 수행되고 있다.

선박 프로펠러의 추진성능 분석에 선체의 반류와 함께 자유 수면의 영향을 고려하기 위한 노력으로 PIV (Particle image velocimetry)기법으로 프로펠러 후방 유동의 변화를 Paik and Lee(2003)가 조사한 바 있다. 동일한 목적에서 Paik et al.(2008)은 수심의 변화와 전진비 변화에 따른 프로펠러 후류의 변화를 계측하여 속도손실 및 프로펠러 반류의 자유수면과의 간섭현상을 설명하였다. 상기 연구들의 연구배경을 살펴보면 실제로 선박의 흘수 변화가 있는 상황에서 선미에 놓인 프로펠러는 자유 수면과 상대적으로 가까워 질 수 있다. 이 때 프로펠러의 추진 성능에 대한 자유수면의 영향은 무시할 수 없는 요인이 될 수 있다는 것이다(Paik et al., 2008). 최근, 이 주제와 밀접한 수치 해석적 연구로 Tokgoz et al.(2014)이 프로펠러 후류의 수심 변화의 영향을 해석한 바 있다. 여기서, 저자들은 포텐셜유동 해석법의 일종인 BET(Blade element theory)를 통해 프로펠러 유동을 해석하고 그 결과를 점성유동 해석법에 체적력(Body force)으로 환산하여 접목하는 방법을 사용하였다. 자유수면이 프로펠러의 유체성능에 미치는 영향에 대한 실험적 및 수치 해석적 연구는 많지 않다. 특히 제한적인 실험적 데이터를 보강하여 프로펠러의 추진성능에 미치는 자유수면의 영향을 보다 심도 깊게 살펴볼 검증된 수치해석 결과가 다소 부재한 상황이다.

본 논문에서는 비정상 점성유동 해석법인 URANS(Unsteady reynolds averaged Navier-Stokes)방정식을 해석하는 방법으로 자유수면 바로 아래에서 회전하는 프로펠러 주위 유동을 해석하고 그 결과를 분석한 내용을 소개하고 있다. 수치해석 결과에서는 POW(Propeller open water)시험에 대한 검증으로 시작하여 프로펠러의 잠긴 깊이에 따른 후류 유동의 변화를 조사하였다. 이 때 일부 수치해석 결과는 회류수조에서 계측된 결과와 비교하여 검토하였다. 자유수면은 두 가지 물리적 경계조건으로 처리하고 각 경계조건이 프로펠러 후류 변화에 미치는 영향을 비교하였다. 국부유동의 비교는 축방향 및 수직방향 유속 분포와 프로펠러에서 생성된 보오텍스(Vortex)에 대한 3차원 특성 등을 포함한다. 이 때 프로펠러의 추력과 토오크 변화를 함께 계산하여 자유 수면의 프로펠러 성능에 미치는 영향을 살펴보았다.

자유수면을 포함하는 유동의 지배방정식은 비압축성 RANS 방정식(Reynolds averaged Navier-Stokes equations)과 연속방정식(Continuity equation)이며, 다음과 같이 적분방정식 형태로 각각 표시할 수 있다.

여기서, τ_ij는 점성과 난류에 의한 유효응력이며 다음과 같이 정의할 수 있다

상기 식들에서 Ω는 면 S의 경계를 가지는 검사체적(Control volume)이며, n_i 는 단위 법선벡터를 나타낸다. ρ는 유체밀도이며, u_i는 각 좌표축 방향의 유체 속도 성분을 나타낸다. p는 압력을 나타내며, b_i는 각 좌표 축 x_i 방향의 단위 질량당 체적력을 나타낸다. 식 (3)에서 δ_ij는 Kronecker’s delta를 나타내고, k는 난류의 운동에너지 그리고 μ_ε는 난류 와점성계수(Turbulent eddy viscosity) μ_t와 유체의 운동학적 점성계수 μ를 합한 유효 점성계수를 나타낸다.

지배방정식의 해는 시간적분 및 공간에 대해 2차 정확도의 이산화기법을 사용하는 유한체적법(Finite volume method, FVM)으로 구하며, 이 기법을 기반으로 하는 범용소프트웨어 STAR-CCM+를 이용하여 수치해석을 수행하였다(CD-adapco, 2015). 비압축성 유동 해석 시 요구되는 속도-압력을 연성하는 방법으로 SIMPLE(Semi-implicit method for pressure-linked equation)방법을 이용하였다. 수치해석에서 프로펠러의 비정상 회전운동은 STAR-CCM+에서 제공하는 sliding mesh라 불리는 기법으로 구현하였다.

자유수면 근처에서 회전하는 프로펠러로 인해 생성되는 조파(Wave-making) 현상은 HRIC(High resolution interface capturing) 기법을 바탕으로 Muzaferija et al.(1998)가 개발한 VOF(Volume-of-fluid)으로 해석하였다.

본 논문에서 유동은 완전히 발달된 난류로 가정하고 있으며, 해석을 위해 역압력 구배가 존재하는 경우 및 회전하는 프로펠러 주위 유동해석에서 정도가 높은, 점성저층(Viscous sub-layer) 영역에서 k-ω모형을 적용하고 그 외 영역은 k-ε 모형을 결합하는 SST(Shear stress transport) k-ω 난류모델(Menter, 1994)을 사용하였다. 벽면에 대한 경계조건 처리법으로 STAT-CCM+에서 제공하는 방법 중에서 벽면에서 첫 번째 격자점까지의 무차원 거리, y⁺ → 0인 경우 low y⁺ 경계조건식으로 처리하고 격자에 의한 y⁺ > 30인 경우 high y⁺ 경계조건식으로 스위치 처리하는 방법을 도입하였다.

수치해석은 Fig. 1에서 볼 수 있는 직경(D) 0.25m의 선박해양 플랜트연구소(KRISO, Korea Research Institute of Ships and Ocean Engineering)에서 설계한 KP505 프로펠러에 대해 수행하였다. 이 프로펠러는 CFD(Computational fluid dynamics)해석 결과를 검증하기 위한 모형시험 수행용으로 설계된 KCS(KRISO container ship) 컨테이너선과 함께 설계되었었다(Kim et al., 2001).

Fig. 2와 3은 POW시험 검증을 위해 설정된 유동장의 형상과 프로펠러면 격자분포를 보여준다.

유동장은 프로펠러와 같이 회전하는 내부영역과 그 밖의 외부영역으로 구분되며, 영역의 크기는 프로펠러 직경을 기준으로 프로펠러 중심에서 폭 방향으로 3.5D 그리고 유동장의 전체 길이는 8D 의 크기를 가진다. 프로펠러 주위 수치격자는 Trimmer라 불리는 Cartesian 격자 생성법을 바탕으로 만들어지는 비정렬격자와 프로펠러 벽면근처의 경계층을 유효하게 해상하기 위해 조밀하게 격자를 적층한 프리즘격자로 구성된다. 본 논문에서는 전체 격자수 2.6M (Grid-1)과 이 크기의 약 1.8배인 4.6M (Grid-2)의 두 가지 격자계를 구성하였으며, 여기서 Grid-1의 경우 내부영역 격자수가 약 2M이고 Grid-2의 경우 3.4M의 크기를 가진다.

POW계산은 각 전진비 J(=U_o/nD)에서 대해 KRISO시험조건과 동일한 고정 회전수(n) 14rps에서 수행되었다. 여기서, U_o는 유입유속이다. 이 때 전진비 0.1에서 0.9까지의 Reynolds수의 범위는 1.45×10⁵ ~ 1.3×10⁶이다.

Fig. 4는 프로펠러 전진비에 따른 추력(T_h)과 토오크(Q)에 대한 각각의 계수 K_T (=T_h/ρn²D⁴)와 K_Q(=Q/ ρn²D⁵) 그리고 효율 η(=JK_T/2πK_Q) 값을 KRISO의 모형시험 결과 비교하고 있다. 계산된 추력계수 값들은 전체 평균해서 모형시험과 약 2.6%정도의 차이를 보이고, 토오크계수는 약 4.1% 정도의 차이를 보여주었다. 본 계산이 보이는 차이는 동일한 문제를 다루는 Lee et al.(2010)과 Baek et al.(2015)의 결과와도 유사하다. 수치해석에 사용된 두 격자간 값들의 차이는 모두 약 0.3%이하의 차이를 보였으며, 이 결과는 다음 절에서 자유수면을 고려한 계산에서 프로펠러를 포함하는 회전영역의 격자수를 결정하는데 참조되었다.

3.2.1 유동조건

Fig. 5와 같은 회류수조시험 조건에서 자유수면과 수심에 따른 프로펠러 주위 유동에 대한 영향을 Paik et al.(2008)이 조사한 바 있다. 다만, 크기가 1.2m×0.3m×0.25m인 소형 회류수조 조건으로 인해 사용된 KP505 프로펠러 모델의 직경은 POW조건의 약 1/5 수준인 0.054m로 다소 작다.

회류수조의 단점으로 유입유동 조건에 따라 자유수면 근처 수심 5~10% 영역에서 유속이 10% 내외로 느려질 수 있다(Suh and Jung, 2011). 자유수면 근처의 느린 유속을 보정하기 위해 일반적으로 표면유동가속계(Surface flow accelerator)를 사용한다. 그러나 저자를 통해 상기 소형회류수조의 경우 이 장비를 갖추고 있지 않으며, 유속이 느려지는 영역의 크기 및 유속의 변화에 대한 계측 데이터가 부재한 것을 확인하였다. 이로 인해 본 수치해석에서는 자유수면 근처 수심에서 유속이 느려질 수 있는 상기 회류수조의 유동현상은 고려하지 않았다.

수치해석은 프로펠러 회전수가 8.37rps와 전진비 0.72조건의 유입유속 0.325m/s에서 프로펠러 중심에 대한 잠긴 수심(T/D)이 각각 2.5와 0.6인 두 가지 계산조건을 고려하였다. 이 때, 좌표계의 원점은 프로펠러 평면이 x/D =0에 위치하고 프로펠러 회전축은 y/D=0과 z/D=0에 위치한다. 이 때 Reynolds 수는 약 1.4×10⁴ 이고 유속과 프로펠러 직경에 근거한 Froude 수는 0.447정도 이다.

본 논문에서는 T/D=0.6의 조건에서 자유수면의 영향을 고려하는 계산과 자유수면을 벽면경계(Wall boundary)로 두었을 때의 유동 변화도 계산하고 함께 비교하였다.

Fig. 6은 T/D=0.6 조건에 대해 수치해석에서 구현한 회류수조 유동장의 크기 및 자유수면 영역을 포함한 일부 영역에서의 격자분포와 경계조건을 나타내고 있다. 격자수는 회전하는 프로펠러 영역에서 약 2.2M 그리고 프로펠러 후류와 자유수면을 포함한 나머지 영역에 약 4.8M로서 총 약 7.0M의 격자수가 사용되었다. 수치해석은 모두 주어진 rps로 1°진행할 때의 시간 간격을 사용하여 비정상 시뮬레이션을 수행하였으며, 유동 해석의 결과는 모형시험과의 비교를 위해 프로펠러 위상각(ϕ)이 0도인 면에 대해 위상평균을 취하였다.

3.2.2 프로펠러 상류 유동

프로펠러가 잠긴 깊이 T/D =2.5인 조건의 경우 자유수면의 영향을 무시할 수 있는 깊이이며, 수치해석에서도 회전하는 프로펠러로 인한 자유수면의 변화가 거의 없음을 확인하였다.

Fig. 7은 y/D=0 평면 내에서 x/D=−0.1, −0.2, −0.3 & −0.4의 프로펠러 상류에서 회전축으로부터 연직방향인 z/D변화에 따른 축방향 유속변화를 비교하고 있다. 여기서, 프로펠러의 날개 끝은 z/D=0.5에 위치한다. 유속의 가속이 커지는 프로펠러 면에 인접한 x/D=−0.1, −0.2의 z/D<0.3 영역에서의 차이를 제외하고 수치해석 결과가 모형시험의 유속분포의 경향을 정성적으로 잘 따르고 있다. 프로펠러에 의한 유동의 교란이 작은 보다 상류위치인 x/D= −0.3, −0.4의 경우 모형시험에서 계측한 유속분포와 타당한 일치를 보여주고 있다.

3.2.3 프로펠러 후방 유동

Fig. 8은 프로펠러가 잠긴 깊이 T/D=2.5인 조건에서 y/D=0 평면 내 x/D=0.1, 0.3, 0.5 & 0.7의 프로펠러 후방에서 회전축으로부터 연직방향인 z/D변화에 따른 축방향 속도 변화를 비교하고 있다. 프로펠러 날개표면에서 유기된 후류가 발달되기 시작하는 프로펠러 평면에 인접한 x/D=0.1에서 수치해석의 결과는 모형시험과 잘 일치하는 경향을 보여주고 있다.

다만, 하류로 진행하면서 z/D >0.4의 프로펠러 날개끝 영역에서 프로펠러에 의해 가속된 Slipstream 안쪽 유속과 그렇지 않은 바깥쪽 유속간의 구배가 모형시험보다 다소 두드러지게 나타나고 있다. 여기서, 높은 속도구배의 원인은 프로펠러에서 생성된 날개끝 보오텍스(Tip vortex)가 이 위치에서 유동에 지배적인 영향을 미치며 하류로 흘러가기 때문이다. 보다 낮은z/D<0.3에서는 수치해석이 모형시험과 비슷한 결과를 보여주고 있다.

Fig. 9는 프로펠러가 잠긴 깊이 T/D=0.6인 조건에서 y/D=0 평면 내 x/D=0.1, 0.3, 0.5 & 0.7의 프로펠러 후방 위치에서 z/D 변화에 따른 축방향 속도변화를 비교하고 있다. 프로펠러 면에 인접한 x/D=0.1에서 수치해석은 모형시험과 경향은 비슷하나 속도 프로파일 전체에서 차이를 나타내고 있다. 이는 앞서 설명했듯이 회류수조 모형시험 결과에 자유수면 근방에서 유속이 느려진 영향이 반영된 원인으로 판단된다. 하류로 진행하면서 수치해석의 경우 여전히 프로펠러에 의해 가속된 Slipstream 안쪽 유속과 그렇지 않은 바깥쪽 유속간의 구배가 모형시험보다 다소 두드러진 것을 볼 수 있다. 본 결과에서 모형시험과 수치 해석 모두 T/D=2.5의 결과보다 날개끝 영역에서 축방향 유속의 불연속적인 급한 변화는 다소 감소한 것을 볼 수 있지만, 유속의 손실은 커진 것을 볼 수 있다.

이는 Paik et al.(2008)이 언급한 바와 같이 프로펠러에 의해 생성된 자유수면 파가 만드는 유동장의 교란이 주요 원인이다. 날개끝보다 높은 z/D>0.5에서 모형시험과의 차이는 자유수면 근처에서 느려진 유속 조건에서 생성된 회류수조의 파와 수치해석에서 계산된 파의 차이로 나타난 결과이다.

3.2.4 자유수면 조건에 따른 후방 유동

Fig. 10은 T/D=2.5과 T/D=0.6일 때 자유수면의 운동을 고려한 경우 및 자유수면을 벽면으로 처리한 경우 =0 평면 내 x/D=0.1, 0.3, 0.5, 0.7의 프로펠러 후방에서 회전축으로부터 연직방향인 z/D변화에 따른 축방향 속도 변화를 각각 비교하고 있다. 프로펠러 평면에 인접한 x/D=0.1에서 날개끝 아래 영역에서 축방향 유속의 분포는 거의 동일하고 z/D>0.5 이상에서는 자유수면 및 수심 조건의 변화에 상응하는 유동 특성들을 보여주고 있다. Fig. 8과 9의 비교에서도 살펴본 바와 같이 x/D>0.1의 후방에서 T/D=2.5의 결과와 비교할 때 자유수면 조건에서 축방향 유속의 결손이 크게 나타나고 있으며 자유수면을 벽면으로 처리한 조건의 경우도 약간의 유속의 결손이 있음을 볼 수 있다.

Fig. 11은 Fig. 10에서 설명한 조건에서 프로펠러 후방에서 회전축으로부터 연직방향인 z/D에 따른 수직방향 속도 변화를 각각 비교하고 있다. 프로펠러 평면에 인접한 x/D=0.1에서 회전축에서 날개끝으로 갈수록 하강하는 수직방향의 속도가 크며 자유수면을 고려한 계산의 경우 다른 두 조건보다 속도의 크기가 작은 것을 볼 수 있다. 하류로 갈수록 프로펠러의 날개 끝과 허브면 근방에서 속도구배는 여전히 크지만 두 위치 사이 날개 영역에서는 수직방향 유속은 감소하고 있다. 날개 끝과 허브면 근방에서 수직방향 유속의 방향이 바뀌고 있는데, 이는 유속 추출 위치와 보오텍스의 위치에 따라 달라진다.

Fig. 12는 T/D=2.5과 T/D=0.6일 때 자유수면의 운동을 고려한 경우 및 자유수면을 벽면으로 처리한 경우 y/D=0 평면 내축방향 유속 분포를 서로 비교하고 있다. T/D=2.5의 결과(a)와 비교했을 때 T/D=0.6에서 자유수면을 벽면으로 처리한 경우(b) 벽면에서 발달되는 경계층의 영향으로 날개의 끝단과 프로펠러 후류가 다소 영향을 받는 것을 볼 수 있다. T/D=0.6에서 자유 수면을 고려한 결과(c)에서 프로펠러에 의해 생성된 파와 프로펠러의 후류와의 강한 상호작용 현상을 볼 수 있다. 특별히 첫 번째 및 더 먼 하류의 두 번째 파정아래에서 축방향 속도의 손실이 명확하게 나타나고 있다.

Fig. 13의 수직방향 속도 분포를 보면 전형적인 수면파 아래의 유동 특성을 따르고 있으며 파정의 좌측 상승하는 유동과 우측에서 하강하는 수직방향 속도분포의 거동을 쫓아 프로펠러 후류가 파정방향으로 신장되고 파저부근을 지날 때는 다소 수축되는 현상을 보여준다.

Table 1은 자유수면의 영향을 고려하거나 자유수면을 벽면으로 처리한 결과에서 나타나는 속도손실이 프로펠러의 추력과 토오크의 변화에 미치는 영향을 보여주고 있다. 여기서, 추력의 경우 Reynolds수 영향으로 인해 0.25m직경에 대한 POW결과보다 작은 값을 나타내고 있다.

자유수면의 영향을 무시할 수 있는 T/D=2.5 조건의 결과와 비교해서 T/D=0.6 수심조건에서 자유수면을 벽면으로 처리한 경우 추력은 약 2.53% 토오크는 1.2%정도 감소하고, 자유수면의 운동을 고려한 경우 각각 3.7%와 3.05%의 더 큰 감소를 나타내고 있다.

Fig. 14는 y축에 대한 와도(Vorticity) 분포를 비교하고 있다. Fig. 13의 축방향 유속분포의 비교에서 설명하였듯이 T/D=0.6에서 자유수면을 벽면으로 처리한 경우(b) 그리고 자유수면의 운동의 영향을 고려한 결과(c)에서 경계층 및 파와 프로펠러의 후류와의 강한 상호작용 현상으로 인해 프로펠러 후류 와도의 강도가 작아지고 형상이 왜곡되는 것을 볼 수 있다.

Fig. 15는 프로펠러 주위에 생성된 날개의 압력면과 흡입면의 압력차로 발생한 날개끝 보오텍스와 프로펠러 면 근방의 후연(Trailing edge) 보오텍스, 허브면 근처 날개사이에 생성되어 회전축을 따라 흐르는 보오텍스의 3차원 형상을 비교하고 있다. 날개끝 보오텍스의 경우 자유수면을 벽면으로 모델링한 경우 경계층과의 상호작용으로 벽면근처에서 체적이 감소하고 형상이 끊김의 형태를 보여주고 있다. 자유수면의 영향을 고려한 경우 파의 윤곽선 형상을 따라 보오텍스가 변형하고 수면과 접하고 있는 영역에서 파에 의한 교란유동으로 인한 확산으로 보오텍스의 변형과 지속성이 떨어지는 것을 볼 수 있다.

3.2.5 자유수면 파

Fig. 16은 전진비 0.72와 T/D=0.6 수심에서 회전하는 KP505 프로펠러에 의해 자유수면에 생성된 파형(Wave pattern)을 나타낸다. 파형은 수면아래 몰수체(Immersed body)가 생성하는 전형적인 발산파(Divergent wave) 패턴과 유사한 것을 볼 수 있다. 시계방향의 프로펠러의 회전으로 인해 프로펠러의 우현의 파장이 길며, 좌현과 비교했을 때 서로 비대칭적인 파고의 분포를 가진다.

Fig. 17은 y/D=0의 프로펠러 축 중심 위치에서 상류에서 하류방향의 파진폭의 변화와 좌현과 우현의 횡방향 위치 y/D=−0.4과 0.4에서 서로 비대칭적인 파진폭의 변화를 서로 비교하고 있다. 프로펠러 중심과 후방의 x/D=0.1 위치 사이에 첫 번째 파저를 형성하고 있으며 x/D=0.5 부근에서 가장 큰 진폭의 첫 번째 파정을 볼 수 있다.

Fig. 18은 회류수조에서 계측한 파형과 수치해를 비교하고 있으며, 프로펠러 주위 파의 발달 형상은 정성적으로 일치하는 것을 보여준다. 앞서 설명한 바와 같이 회류수조의 경우 자유수면 근방에서의 유속이 느려지는 영향이 포함되어 있어 파정과 파저의 위치가 수치해와는 약간 다른 것을 볼 수 있다.

본 논문에서는 URANS법을 이용하여 자유수면 아래 낮은 깊이에서 회전하는 프로펠러 주위 비정상 유동을 해석하였다.

먼저, 자유수면을 강체벽으로 가정한 경우 벽면에 발달된 경계층의 영향으로 프로펠러 면 근방 영역(x/D<1) 반류에서 축 방향 및 수직방향 유속의 손실을 볼 수 있었다. 또한 경계층과 프로펠러 날개끝 보오텍스와의 상호작용으로 프로펠러 후방으로 가면서 그 강도와 형상에 변화가 있었다.

자유수면에 생성된 파의 운동이 있는 경우 자유수면과 인접하는 반류 영역의 유속의 손실은 보다 현저하며, 앞서 설명한 경계층의 영향과는 달리 파가 존재하는 프로펠러 후방 먼 거리까지 이러한 속도 손실이 나타났다. 3차원으로 살펴본 보오텍스 거동은 자유수면 파의 윤곽을 따라 변하는 것을 볼 수 있었다.

파에 의한 유동의 교란으로 파와 인접하고 있는 날개끝 보오텍스의 강도는 감소하고 하류에서 확산으로 지속성이 떨어졌다.

자유수면의 영향을 무시할 수 있는 깊은 수심의 조건과 비교해서 T/D=0.6 조건에서 자유수면을 강체벽면으로 처리한 경우 추력은 약 2.53% 토오크는 1.2%정도 감소하고, 자유수면의 파의 운동을 고려한 경우 각각 3.7%와 3.05%의 더 큰 감소를 보였다.

프로펠러에 의해 생성된 파는 전형적인 발산파 지배적인 자유수면 아래 몰수체에 의한 파형분포 형태이고, 좌현과 우현에서 비대칭적인 파고 분포를 보여 주었다.

마지막으로, 회류수조에서 계측된 프로펠러 반류의 유속 분포 비교에서 본 수치해석은 타당한 일치를 보여주었다.