In this paper, robust backstepping controller for IPMSM is proposed based on the PID integral sliding mode control. Because of the unmatching condition of load, the sliding mode control is difficult to be used for IPMSM without backstepping. However, the backstepping control has the difficulty of deriving error dynamics which is derived by differentiating the previous input. This difficulty is avoided by adopting PID as a nominal controller for the integral sliding mode control. The proposed controller can be achieved easily by adding integral sliding controller to the conventional PID controller.
영구자석형 동기전동기은 회전자자석의 부착형태에 따라서 표면부착형(SPMSM)과 매입형(IPMSM)으로 분류된다[1-3]. 제어에 있어서의 IPMSM은 자계전류가 영일 때 최대토크효율을 갖는 SPMSM과는 달리 자계전류를 영이 아닌 값으로 적절히 제어를 해주어야 하기 때문에 동특성에 있어서 비선형성을 그대로 고려하여 제어해야 한다[4-6].
본 연구에서는 강인성을 향상시키기 위해서 슬라이딩모드제어기를 적용하고자 한다. 그러나 IPMSM은 정합조건을 만족시키지 못하므로 슬라이딩모드를 적용하기가 어렵기 때문에 백스테핑기법을 사용하여 이 어려움을 극복한다.
백스테핑제어의 장점은 고차계통을 작은 차수의 계통으로 나누어 생각함으로써 제어기의 설계를 단계별로 할 수 있도록 함으로써 제어기구성에 있어서 안정도 등의 고려를 용이하게 한다는 데 있다. IPMSM에 있어서 백스테핑제어는 회전속도를 제어하기 위한 q축전류 값을 결정한 후 이 전류값으로 제어할 수 있는 q축 전압 제어값을 결정하는 것이다. 속도식을 이용하여 구한 전류값은 q축 전류 시스템의 기준입력이 되는 것이다[7-9]. 이 기준입력은 이전의 상태를 제어하기 위한 값으로 결정되었기 때문에 시간에 따른 변화가 큰 함수가 된다. 이러한 기준입력은 백스테핑제어의 오차모델을 구하는데 어려움을 준다.
본 논문에서는 이러한 어려움을 해결하기 위하여 오차모델을 필요로 하지 않는 PID제어기의 특성을 사용하며 전체적인 안정도 확보와 강인성도 증가시키기 위해 슬라이딩모드제어를 도입한다. 슬라이딩모드제어는 불확실성이 존재하는 경우에 제어계통의 동특성이 슬라이딩평면에 머물도록 함으로써 제어의 강인성을 보장받을 수 있는 제어방법이다 [10,11].
적분 슬라이딩모드제어는 초기에는 도달기간문제를 해결하는데 초점이 맞추어져 있었으나[12-14] 점차적으로 슬라이딩모드의 동특성을 확장하는 특성에 의해서 슬라이딩모드와 다른 제어기특성의 결합에 사용될 수 있는 가능성이 조명을 받고 있다 [15-17].
본 논문에서는 이러한 슬라이딩모드의 강인성과 PID제어의 성능을 결합하는데 이러한 특성을 사용한다.
불확실성이 존재하지 않는 공칭계통에 대해서 공칭 PID제어기를 설계하여 좋은 제어성능을 확보하는 것은 용이하며 그 공칭계통을 바탕으로 해서 슬라이딩모드가 정의되어 슬라이딩모드제어기를 구성하게 된다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 1장에서는 IPMSM에 대해서 설명하고 제 2장에서는 PID 적분슬라이딩모드제어에 대해서 설명한다. 제 3장에서는 IPMSM의 백스테핑 PID 슬라이딩모드제어기를 설계하고 제 4장에서는 시뮬레이션을 수행하고 제 5장에서는 결론에 대해서 서술한다.
IPMSM의 동특성방정식은 다음과 같다.
여기서
SPMSM의 경우에는
MTPA를 고려한 전형적인 IPMSM의 제어시스템은 PID제어기를 사용하고 있으며 구조는 다음과 같다.
위의 구조에서
이에 본 연구에서는 PID제어기는 오차방정식을 구하지 않고 오차를 감소시킨다는 사실에 착안을 하여 오차방정식을 구하는 대신에 적분슬라이딩모드를 사용하여 PID제어기의 특성을 슬라이딩모드동특성에 포함시키는 아이디어로 이 문제를 해결하고자 한다.
본 연구에서의 백스테핑제어기의 설계 과정은 다음과 같다.
단계 1: 속도 상태방정식에 대한 제어입력
단계 2: 단계 1에서 구한
3.1. 속도제어에 대한 PID ISMC 제어입력의 구성
식 (1)에서 속도에 관한 식은 다음과 같다.
여기서
슬라이딩평면은 다음과 같이 정의한다.
여기서
여기서
그리고
슬라이딩모드에 머무르도록 하는 제어입력을 구하기 위하여 Lyapunov 후보함수를 다음과 같이 정한다.
위의 함수가 리아프노프함수가 되는 조건은 다음과 같다. 아래 조건을 만족하면 시간이 지남에 따라
위의 조건을 만족시키는 입력은 다음 정리와 같다.
정리 1. 속도시스템에 있어서 부하외란이 존재하는 경우에도 외란이 존재하지 않는 경우의 PID제어 성능을 유지시키는 적분슬라이딩모드 제어입력은 다음과 같다.
여기서
증명:
정리 1에서의 입력 식(7)을 대입하면 다음과 같다.
증명 끝.
3.2. q축 전류를 제어를 위한 PID ISMC 제어입력의 구성
3.1절에서 결정된 입력
위의 식에서 은 슬라이딩모드입력의 채터링을 포함하고 있기 때문에 미분값이 매우 커질 가능성이 있으며 미분 결과도 수식적으로 복잡하다. PID제어시스템은 오차방정식을 사용하지 않고 오차를 영으로 제어할 수 있는 특성을 이용하면, 첫 번째 단계에서 구한 기준입력의 미분계산을 피해갈 수 있는 길을 열 수 있다.
1식 (1)에서
슬라이딩 평면은 다음과 같이 정의 한다.
여기서
여기서
전체 계통을 안정하게 하기 위한
정리 2. 전체 시스템을 안정화시키고 공칭 PID 전류 제어 특성을 유지할 수 있는
여기서
증명: 위의 함수가 Lyapunov함수가 되는 조건은 다음과 같다. 아래 조건을 만족하면 시간이 지남에 따라
각 항이 영보다 작도록 하면 된다. 첫 항에 대해 살펴보면 다음과 같다.
여기서 이 영보다 크기 때문에
두 번째 항에 대해서 살펴보도록 하자.
식 (11)를 대입하면 다음과 같다.
그러므로 가 만족됨을 알 수 있다.
증명 끝
정리 2의 증명으로부터 전체시스템에 대한 안정도가 확보됨을 확인할 수 있다.
시뮬레이션에 사용되는 IPMSM의 파라미터는 다음과 같다.
[표 1.] 시뮬레이션에 사용된 IPMSM의 파라메터값
시뮬레이션에 사용된 IPMSM의 파라메터값
슬라이딩 평면들은 다음과 같다.
제어입력
정현파 부하외란이 존재하는 경우 PID-백스태핑 제어와 제안된 제어기의 속도제어 결과를 비교하면 그림 2와 같다.
그림 2에서 PID-백스태핑 제어기는 부하외란의 영향을 받고 있으며 제안된 제어기는 강인한 특성을 보여주고 있다.
전류
그림 3에서 제안된 제어기의 전류는 외란을 처리하면서도 PID와 비교해서 크기에 있어서 차이가 나지 않음을 볼 수 있다. MTPA를 위한 전류
그림 4는
그림 5에서 제안된 전류기의 제어입력은 외란처리를 하는 성분이 포함되어 있음을 볼 수 있다.
다음 그림 6은 슬라이딩 함수의 값을 나타내고 있다. 그림 6 은 슬라이딩 함수 값이 충분히 작게 제어되었음을 보여주고 있다.
본 연구에서는 IPMSM의 슬라이딩모드를 적용하는데 있어서 백스테핑 기법을 적용함으로써 정합조건을 만족시킬 수 있도록 하였다. 백스태핑 제어에 슬라이딩 모드를 적용함에 있어서 오차방정식의 유도에 따르는 어려움을 PID제어기와 적분슬라이딩모드를 함께 적용함으로써 극복하였다.
제안된 PID 슬라이딩모드 백스태핑제어기는 기존의 통상적으로 사용되는 PID제어구조에 비해서 강인성을 향상시킬 수 있고 전체 안정도를 확보할 수 있음을 증명하고 시뮬레이션을 통하여 검증하였다. 본 연구의 결과는 기존의 PID제어에 강인성 향상을 위한 입력을 구성하여 추가하는 형태이기 때문에 실제 적용에도 유리한 형태를 가지고 있다.